高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法课堂导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.5.1 平面几何中的向量方法课堂导学三点剖析1.用向量方法解决简单的平面几何问题【例 1】如右图平行四边形 ABCD 中，已知 AD=1，AB=2，对角线 BD=2.求对角线 AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a，=b，则=a-b, =a+b.而||=|a-b|=,∴||2=5-2a·b=4.①又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.由①得 2a·b=1,∴||2=6,∴||=,即 AC=.温馨提示(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽说任意两个不共线的向量都可以做基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂.(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可考虑向量法.(3)在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.2.向量坐标运算的应用【例 2】如右图已知四边形 ABCD 是正方形，BE∥AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于 F.求证：=.思路分析：可以建立直角坐标系，要证明||=||，只要求出 A 与 E、F 点的坐标即可.证明：如题图，以正方形 ABCD 的 CD 所在直线为 x 轴,以 C 点为原点建立直角坐标系.设正方形的边长为 1,则 A、B 的坐标分别为（-1，1），（0，1）若 E 点的坐标为（x,y），则=（x,y-1）,=(1,-1). ∥,即 x+y=1①又 ||=||.∴x2+y2=2.②由①②得 E 点的坐标为（，）.如果设 F 点的坐标为（x′,1），由=（x′,1）与=（，）共线，得x′-=0，解得x′=-(2+)，即点 F 的坐标为（-2-，1）. =(-1-,0),=(,).∴||=1+=||.即 AF=AE.温馨提示 由于向量同时具备数、形的特点，能够顺利实现形、数的相互转化，因此在解决几何问题时常常能够化严格的逻辑推理为简单的计算.特别是在触及线段的平行或垂直问题时，向量便更有用武之地了.3.将平面几何问题转化为向量问题【例 3】如下图三角形 ABC 是等腰直角三角形，∠B=90°,D 是 BC 边的中点，BE⊥AD，延长BE 交 AC 于 F，连结 DF，求证：∠ADB=∠FDC.思路分析：建立适当的坐标系，利用向量平行和垂直的条件及向量的数量积，转化为证明两向量的夹角相等.解析：如题图，建立直角坐标系，设 A（2，0），C（0，2），则 D（0，1），于是=（ -2 ， 1 ） ，= （ -2 ， 2 ） ， 设 F （ x,y ） , 由⊥， 得·=0 ， 即（x,y）·(-2,1)=0,∴-2x+y=0.①又 F 点在 AC 上，则∥.而=（-x,2-y）,因此 2（-x）...