2．3.2 抛物线的简单几何性质[提出问题]问题 1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题 2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题 3：抛物线 y2＝2px 有对称性吗？提示：有，关于 x 轴对称． [导入新知]抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x ≥0 ， y ∈ R x ≤0 ， y ∈ R x ∈ R ， y ≥0 x ∈ R ，y ≤0 对称轴x 轴 y 轴 顶点O (0,0) 离心率e ＝ 1 开口方向向右向左向上向下[化解疑难]1．抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．2．p 的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.抛物线方程及其几何性质[例 1] 已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上不同的两点，O 为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，求直线 AB 的方程．[解] 如图所示．设 A(x0，y0)，由题意可知 B(x0，－y0)，又 F 是△AOB 的垂心，则 AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即·＝－1，1∴y＝x0，又 y＝2px0，∴x0＝2p＋＝.因此直线 AB 的方程为 x＝.[类题通法]根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)，则焦点 F，直线 l：x＝，∴A，B 两点坐标分别为，，∴|AB|＝2|p|. △OAB 的面积为 4，∴··2|p|＝4，∴p＝±2.∴抛物线方程为 y2＝±4x.直线与抛物线的位置关系[例 2] 若抛物线 y2＝4x 与直线 y＝x－4 相交于不同的两点 A，B，求证：OA⊥OB.证明：由消去 y，得 x2－12x＋16＝0. 直线 y＝x－4 与抛物线相交于不同两点 A，B，∴可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝12，x1x2＝16. OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA⊥OB，即 OA⊥OB.[类题通法]将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式 Δ 或者对向量数量...
