2.3.2 双曲线的简单几何性质课堂探究探究一 由双曲线方程研究其几何性质已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式－＝1，再根据 a，b 的值(注意分母分别为 a2，b2，而不是 a，b)求出 c，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形．【典型例题 1】 求双曲线 16x2－9y2＝－144 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图．思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确定 a，b，c 后求解．解：把方程 16x2－9y2＝－144 化为标准方程－＝1，由此可知，半实轴长 a＝4，半虚轴长b＝3，c＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；离心率为 e＝＝；渐近线方程为 y＝±x.作草图．探究二 利用几何性质求双曲线的标准方程双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于 a，b，c 的方程，解方程组求出待定系数．【典型例题 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为 y＝±x，焦距为 10；(2)已知双曲线的渐近线方程为 y＝±x，且过点 M；(3)与椭圆＋＝1 有公共焦点，且率心率 e＝.思路分析：根据题设条件确定 a，b 的关系式，利用解方程的方法求得 a，b 的值．但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论．也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解．解：(1)解法一：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线方程为－＝1.由渐近线方程为 y＝±x，得＝，2c＝10.又 c2＝a2＋b2，得 a2＝20，b2＝5，所以双曲线的标准方程为－＝1.同理，当焦点在 y 轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，所以所求双曲线的标准方程为－＝1 或－＝1.解法二：由渐近线方程为 y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.由 a2＋b2＝c2,2c＝10，得|4λ|＋|λ|＝25，所以|λ|＝5，所以 λ＝±5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1 或－＝1.(2)因为双曲线的渐近线方程为 2x±3y＝0，所以可设双曲线的方程为 4x2－9y2＝λ(λ≠0)．1又因为双曲线过点 M，所以 λ＝4×－9＝72.所以双曲线方程为 4x2－9y2＝72，即标准方程为－＝1.(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即 c＝5 且焦点在 x 轴...
