5 平面向量应用举例（第 1 课时）课堂探究探究一点共线或平行问题用向量法证明平面几何中 AB∥CD 的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数 λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论 AB∥CD
方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系 x1y2－x2y1＝0 得到∥，再给出几何结论 AB∥CD
以上两种方法，都是建立在 A，B，C，D 中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到 AB∥CD
【典型例题 1】 已知在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形 DEBF 也是平行四边形．证明：设＝a，＝b，则＝－＝－a＝b－a，＝－＝b－＝b－a，所以＝，且 D，E，F，B 四点不共线，所以四边形 DEBF 是平行四边形．探究二垂直问题向量法证明平面几何中 AB⊥CD 的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为 0；④给出几何结论 AB⊥CD
方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为 0，从而得到几何结论 AB⊥CD
【典型例题 2】 已知正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，求证 AF⊥DE
证明：设正方形边长为 2，建立如图所示的平面直角坐标系．则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则中点 E(1,0)，F(2,1)．∴＝(2,1)，＝(1，－2)，∴·＝2×1＋1×(－2)＝0，∴⊥，∴AF⊥DE
探究三 长度问题在解决求长度的问题时，不用解三角形，而是用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．【典型例题 3】 如图所示，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2
求对角线 AC 的长．思路分
