2.5 平面向量应用举例（第 1 课时）课堂探究探究一点共线或平行问题用向量法证明平面几何中 AB∥CD 的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数 λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论 AB∥CD.方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系 x1y2－x2y1＝0 得到∥，再给出几何结论 AB∥CD.以上两种方法，都是建立在 A，B，C，D 中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到 AB∥CD.【典型例题 1】 已知在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形 DEBF 也是平行四边形．证明：设＝a，＝b，则＝－＝－a＝b－a，＝－＝b－＝b－a，所以＝，且 D，E，F，B 四点不共线，所以四边形 DEBF 是平行四边形．探究二垂直问题向量法证明平面几何中 AB⊥CD 的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为 0；④给出几何结论 AB⊥CD.方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为 0，从而得到几何结论 AB⊥CD.【典型例题 2】 已知正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，求证 AF⊥DE.证明：设正方形边长为 2，建立如图所示的平面直角坐标系．则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则中点 E(1,0)，F(2,1)．∴＝(2,1)，＝(1，－2)，∴·＝2×1＋1×(－2)＝0，∴⊥，∴AF⊥DE.探究三 长度问题在解决求长度的问题时，不用解三角形，而是用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．【典型例题 3】 如图所示，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2.求对角线 AC 的长．思路分析：本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解决．解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝＝2，①∴||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.∵由①得 2a·b＝1，∴||2＝6，∴||＝，即 AC＝.探究四夹角问题把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向．在向量求夹角时，一种是选取一组向量作基底运用公式求解；另一种是建立平面直角坐标系进行求解．【典型例题 4】 已知矩形 ABCD 中，AB＝，AD＝1，E 为 DC 上靠近 D 的三等分点，求∠EAC 的大小．解：如图，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，C(，1)，E，＝(，1)，＝，·＝2.cos∠EAC＝＝＝.又∵0<∠EAC<，∴∠EAC＝.
