2.3.2 双曲线的几何性质学习目标 1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.4.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点 双曲线的几何性质1．渐近线：直线 y＝±x 叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．2．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用 e 表示(e>1)．3．双曲线的几何性质见下表：标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a 或 x≤－ay≤－a 或 y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)轴长实轴长：2a；虚轴长：2b渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝a，b，c 间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．等轴双曲线的离心率是.( √ )2．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．( × )3．双曲线－＝1 与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．( √ )4．双曲线－＝1 与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )题型一 由双曲线方程研究其几何性质例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a，b，c，渐近线解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以 a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为 F1(－，0)，F2(，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x＝±x.引申探究求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长 a＝，虚半轴长 b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率 e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为 y＝±x，即 y＝±x.反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练 1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3，c＝＝＝5，焦点坐...
