高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例教学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教学案

第 1 课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 [核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P103～P105的内容，回答下列问题．观察教材 P103图 2.4－1 和图 2.4－2，思考：(1)如何计算力 F 所做的功？提示：W ＝ | F || s | cos _θ . (2)力 F 在位移方向上的分力是多少？提示：| F | cos _θ . (3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 2．归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义已知条件向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为 θ定义数量| a || b | cos _θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)记法a · b ＝ | a || b | cos _θ规定零向量与任一向量的数量积为 0(2)向量的数量积的几何意义① 投影的概念：(ⅰ)向量 b 在 a 的方向上的投影为| b | cos _θ．(ⅱ)向量 a 在 b 的方向上的投影为| a | cos _θ．② 数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos _θ 的乘积．(3)向量数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角．①a⊥b⇔a · b ＝ 0 ．② 当 a 与 b 同向时，a·b＝| a || b | ，当 a 与 b 反向时，a·b＝－ | a || b | ．③a·a＝| a | 2或|a|＝＝.④cos θ＝.⑤|a·b|≤|a||b|.(4)向量数量积的运算律①a·b＝b · a (交换律)．②(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) (结合律)．③(a＋b)·c＝a · c ＋ b · c (分配律)．[问题思考](1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．(2)数量积 a·b 与实数乘法 ab 的区别是什么？提示：①在实数中 ， 若 a ≠0 ， 且 ab ＝ 0 ， 则 b ＝ 0 ， 但在数量 积中 ，若 a ≠ 0 且 a · b ＝ 0 ， 不一定能推出 b ＝ 0 ， 这是因为 | b | cos _θ 有可能为 0 ， 即 a ⊥ b . ② 在实数中 | ab | ＝ | a || b | ， 但在向量中 | a · b |≤ | a |·| b | ．(3)a⊥b 与 a·b＝0 等价吗？提示：当 a 与 b 为非零向量时 ， 两者等价；当其中...