第 2 课时 双曲线几何性质的应用学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案 不能．梳理 设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二 弦长公式若斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＝.1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × )2．直线 l：y＝x 与双曲线 C：2x2－y2＝2 有两个公共点．( √ )类型一 直线与双曲线的位置关系例 1 已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点(，1)．(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：y＝kx＋与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A，B，求 k 的取值范围．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)由 e＝，可得＝，所以 a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1.将点 P(，1)代入双曲线 C 的方程，解得 b2＝1，所以双曲线 C 的方程为－y2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，消去 y，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由题意得，解得－1
