2．5 平面向量应用举例[目标] 1.通过向量知识在实际问题中的应用，提高分析问题、解决问题的能力． 2.学会如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型解决实际问题．[重点] 向量知识在实际问题中的应用．[难点] 把实际问题转化成数学问题．知识点一 平面几何中的向量方法 [填一填]用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．[答一答]1．用向量可以解决平面几何中的哪些问题？提示：(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、向量共线定理．(2)证明线段垂直，可以用向量的数量积运算．(3)利用向量的数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．知识点二 向量在物理中的应用 [填一填]1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算．3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即 W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ 为 F 和 s 的夹角)．[答一答]2．利用向量解决物理中的问题的实质是什么？提示：向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．3．利用向量解决物理问题时应注意什么？提示：在用向量解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路．在解题过程中要注意两方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.类型一 平面向量在几何中的应用 [例 1] 如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点 D 在线段 BC 上，且 BD＝DC.求：(1)AD 的长；(2)∠DAC 的大小．[解] (1)设AB＝a，AC＝b，则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.∴|AD|2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.∴AD＝.(2)设∠DAC＝θ，则 θ 为向量AD与AC的夹角．∴cosθ＝＝＝＝＝0.∴θ＝90°，∴∠DAC＝90°.先利用图形特点和已知条件选择基向量表示目标向量，再利用公式求解是解决与平面图形有关的向量夹角及长度问题的常见方法.[变式训练 1] 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB 上，且＝＝.求证：点 E，O，F 在同一...
