2.4 等比数列（1）学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念思考 观察下列 4 个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….答案 从第 2 项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．梳理 等比数列的概念和特点．(1)文字定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q≠0)．(2)递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*)．(3)等比数列各项均不能为 0.知识点二 等比中项的概念思考 在 2,8 之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？答案 设这个数为 G.则＝，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有 2 个．梳理 等比中项与等比中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b的等差中项若 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项定义式A－a＝b－A＝公式A＝G＝±个数a 与 b 的等差中项唯一a 与 b 的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数 a 与 b 都有等差中项只有当 ab ＞ 0 时，a 与 b 才有等比中项知识点三 等比数列的通项公式思考 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为 a1，公比为 q 的等比数列的通项公式吗？答案 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．将上面 n－1 个等式的左、右两边分别相乘，得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即 an＝a1qn－1(n≥2)．当 n＝1 时，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．梳理 等比数列{an}首项为 a1，公比为 q，则 an＝a1qn－1.1类型一 证明等比数列例 1 已知 f(x)＝logmx(m＞0 且 m≠1)，设 f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为 4，公差为 2 的等差数列，求证：数列{an}是等比数列．证明 由题意知 f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2， m＞0 且 m≠1，∴m2为非零常数，∴数列{an}是等比数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与 n 无关的常数)．跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝(an...
