第 1 课时 等比数列的前 n 项和学习目标：1.掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题．[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式思考：类比等差数列前 n 项和是关于 n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前 n项和 Sn?[提示]可把等比数列前 n 项和 Sn理解为关于 n 的指数型函数．2．错位相减法(1)推导等比数列前 n 项和的方法一般地，等比数列{an}的前 n 项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①用公比 q 乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得 Sn＝(q≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前 n 项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且 q≠1.思考：等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示] 根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理，则得＝q，即＝q，进而可求 Sn.[基础自测]1．思考辨析(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn＝来求．( )(2)若首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和为 Sn＝na.( )(3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0 且 q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ 提示：(1)错误．在求等比数列前 n 项和时，首先应看公比 q 是否为 1，若 q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前 n 项和为 Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前 n 项和公式 Sn＝(q≠0 且 q≠1)变形为 Sn＝－qn(q≠0 且 q≠1)，若令 a＝，则和式可变形为 Sn＝a－aqn.2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则 S5＝________.31 [S5＝＝＝31.]3．数列，，，…的前 10 项的和 S10＝________.【导学号：91432215】 [S10＝＋＋＋…＋，则 S10＝＋＋…＋＋.两式相减得，S10＝＋＋＋…＋－＝－，所以 S10＝.]4．某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年的产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为________．11(1.15 － 1)a [ 去 年 产 值 为 a ， 从 今 年 起 5 年 内 各 年 的 产 值 分 别 为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15...
