第二课时 数列求和(习题课)1．等差数列和等比数列求和公式是什么？其公式是如何推导的？略2．等差数列和等比数列的性质有哪些？略分组转化法求和[例 1] 已知数列{an}，{bn}满足 a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.[解] (1) an＝2an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，∴an－3n＝2(an－1－3n－1)，∴bn＝2bn－1(n∈N*，n≥2)． b1＝a1－3＝2≠0，∴bn≠0(n≥2)，∴＝2，∴{bn}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．∴bn＝2·2n－1＝2n.(2)由(1)知 an＝bn＋3n＝2n＋3n，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝2n＋1＋－.[类题通法]当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列时，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n 项和等于拆分成的每个数列前 n 项和的和．[活学活用]求数列，2，4，…，，…的前 n 项和 Sn.解： an＝2n－2＋＝(2n－2)＋＝(2n－1)－，∴Sn＝＋2＋4＋…＋＝＋＋＋…＋＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－＝－＝n2＋－1.错位相减法求和[例 2] (山东高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令 cn＝，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.[解] (1)由题意知当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.当 n＝1 时，a1＝S1＝11，符合上式．所以 an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为 d.由即解得所以 bn＝3n＋1.(2)由(1)知 cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得 Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2， 所以 Tn＝3n·2n＋2. [类题通法]如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．[活学活用]已知 an＝，求数列{an}的前 n 项和 Sn.解：Sn＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得 Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝－－，∴Sn＝－－＝－.裂项相消法求和[例 3] 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn满足 S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前 n 项和．[解] (1)设{an}的公差...
