2.4.2 抛物线的简单几何性质[目标] 1.掌握抛物线的图形和简单几何性质.2.能运用性质解决与抛物线有关的问题．[重点] 应用抛物线的几何性质解决相关弦问题．[难点] 直线与抛物线的位置关系问题．知识点一 抛物线的简单几何性质[填一填][答一答]1．抛物线的离心率为什么是 1?提示：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，而抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，故抛物线的离心率是 1.这与椭圆、双曲线不同，椭圆的离心率 01，注意区别．知识点二 抛物线的焦点弦[填一填]抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点 P(x0，y0)，焦点弦端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为[答一答]2．若过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝6，则|AB|是多少呢？提示：|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝8.3．以抛物线的一条焦点弦为直径的圆与抛物线的准线有什么位置关系呢？提示：相切，根据抛物线定义，圆心到准线的距离等于半弦长即圆的半径．1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．2.抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．4.抛物线的离心率 e＝1(定值)．5.抛物线方程中的参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，由方程 y2＝2px(p≠0)知，对同一个 x，p 越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大．6.抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看作是双曲线的一支．类型一 抛物线的简单几何性质【例 1】 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2，求这条抛物线的方程．【分析】 因为圆和抛物线都关于 x 轴对称，所以它们的交点也关于 x 轴对称，即公共弦被 x 轴垂直平分，于是由弦长等于 2，可知交点纵坐标为±.【解】 如图，设所求抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)或 y2＝－2px(p>0)，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即 y1－y2＝2.由对称性知 y2＝－y1，∴y1＝.将 y1＝代入 x2＋y2＝4 得 x＝±1，∴点(1，)，(－1，)分别在抛物线 y2＝2px，y2＝－2px 上．∴3＝2p 或 3＝(－2p)×(－1)，p＝.故所求抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2...
