2.5 等比数列的前 n 项和教学建议1.教材中,等比数列前 n 项和公式的推导方法是“错位相减法”,这也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到化简的目的.可以向学生介绍其他的求和算法,或者让学生自己根据等比数列的特点来设计求和算法.2.本节的重点是等比数列前 n 项和及其应用,难点是推导等比数列前 n 项和公式.3.等比数列前 n 项和公式的推导中应用了错位相减法,每年高考中都会有很多省市考查这个知识点,因此,我们要引起足够的重视.教学参考等比数列前 n 项和公式的其他推导方法(1)设 Sn=a1+a2+a3+…+an.∵{an}是等比数列,∴=…==q.由等比性质,得=q,即=q.当 q≠1 时,Sn=;当 q=1 时,Sn=na1.(2)当 n≥2 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an).从而(1-q)Sn=a1-anq.当 q≠1 时,Sn=;当 q=1 时,Sn=na1.(1)的思路是:为了得到等比数列的前 n 项和,我们首先根据等比数列的定义,写出一些比例式,再根据等比性质求解即可.(2)的思路是:当 n≥2 时,首先配凑出 Sn与 Sn-1之间的关系,再根据前 n 项和 Sn与前 n-1 项和 Sn-1之间的关系式,得到一个关于 Sn的方程,最后求解即可.备选习题一个球从 100 m 高处自由落下,每次着地后跳回到原来高度的一半再落下,当它第 10 次着地时,共经过的路程是多少?解:由题意知,球第 1 次着地时,经过的路程是 100 m,从这时到球第 2 次着地时,经过的路程是 2× m,从这时到球第 3 次着地时,经过的路程是 2× m,…球第 10 次着地时,经过的路程是 2× m.所以当球第 10 次着地时,共经过的路程是S=100+2×+2×+…+2×=100+100=100+≈300(m),所以当球第 10 次着地时,共经过的路程约是 300 m.
