2．5 等比数列的前 n 项和第 1 课时 等比数列的前 n 项和[目标] 1.体会等比数列前 n 项和公式的推导过程；2.记住等比数列的前 n 项和公式，并能进行熟练计算；3.会用等比数列的前 n 项和公式解答一些简单的等比数列前 n 项和问题．[重点] 等比数列前 n 项和公式及应用．[难点] 等比数列前 n 项和公式的推导．知识点一 等比数列的前 n 项和公式 [填一填][答一答]1．等比数列求和时，能否直接运用公式 Sn＝或 Sn＝？提示：不能．运用公式 Sn＝或 Sn＝的前提是公比 q≠1，所以对含有参数的等比数列求和时，应首先判断该数列的公比是否为 1.若公比为 1，则应按常数列求和，Sn＝na1；若不能判断公比的值，则应分类讨论．2．数列 a，a2，a3，…，an，…的前 n 项和是多少？提示：当 a＝1 时，Sn＝n；当 a≠1 时，Sn＝.知识点二 等比数列前 n 项和公式的推导——错位相减法 [填一填]一般地，对于等比数列 a1，a2，a3，…，an，…，它的前 n 项和是 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1 ①，① 的两边同乘以 q，得 qSn＝a1q ＋ a 1q 2 ＋ a 1q 3 ＋ … ＋ a 1q n － 1 ＋ a 1q n ②，用①的两边分别减去②的两边，得(1－q)Sn＝a1－ a 1q n .当 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式为 Sn＝.因为 a1qn＝(a1qn－1)q＝anq，所以上面的公式还可以写成 Sn＝.当 q＝1 时，数列{an}即为常数列 a1，a1，a1，…，a1，…，易得它的前 n 项和 Sn＝na1.[答一答]3．“错位相减法”适用于什么样的数列求和？提示：它适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前 n 项的和，它也是等比数列求和公式推导的思想方法．类型一 等比数列前 n 项和的计算[例 1] (1)已知在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3和 q.(2)在等比数列{an}中，Sn为其前 n 项和，公比为 q，若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1和n.[分析] 运用等比数列的前 n 项和公式Sn＝[解] (1)若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝a1＝2；若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式，得 S3＝＝＝6，解得 q＝1(舍去)或 q＝－2.此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.(2)方法一： Sn＝＝＝(q≠1)，∴189＝，∴a1＝3，又 an＝a1qn－1，∴96＝3×2n－1，即 2n－1＝32，则 n＝...
