第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质[目标] 1.理解等比数列前 n 项和的性质，会运用性质解题；2.能用等比数列的知识解决一些综合性问题．[重点] 等比数列前 n 项和的性质及应用；等差数列与等比数列的综合应用．[难点] 等比数列前 n 项和性质的理解．知识点一 等比数列前 n 项和的性质 [填一填]设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比为 q.(1)当 q＝1 时，＝；当 q≠±1 时，＝；(2)Sn＋m＝Sn＋q n S m＝Sm＋q m S n；(3)当 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为零时，数列 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列；(4)设 S 偶与 S 奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为 2n，则＝__q__；若项数为2n＋1，则＝__q__.[答一答]1．前 n 项和的性质：“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列”，有什么条件吗？提示：当 q＝－1，n 为偶数时，上述性质不成立．原因是：Sn＝0，S2n－Sn＝0，S3n－S2n＝0，所以不能构成等比数列．2．性质：Sm＋n＝Sn＋qnSm如何推导？提示：Sm＋n＝Sn＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋am)＝Sn＋qn·Sm.知识点二 等比数列前 n 项和公式的函数观点 [填一填]等比数列前 n 项和公式的函数观点(1)当公比 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式可写成 Sn＝－·qn＋的形式，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是指数型函数 y＝－ Aq n ＋ A 图象上的一些离散的点．(2)当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1 是 n 的正比例函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数 y ＝ a 1x 图象上的一些离散的点．[答一答]3．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝Aqn＋B(q≠0，且 q≠1)，且 A＋B＝0，则该数列是否为等比数列？提示：该数列一定为等比数列．这是因为 a1＝Aq＋B＝Aq－A＝A(q－1)；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn＋B－(Aqn－1＋B)＝Aqn－1(q－1)，所以 an＝Aqn－1(q－1)，所以＝＝q，故{an}为等比数列．类型一 等比数列前 n 项和的性质命题视角 1：Sn，S2n，S3n之间的关系[例 1] 等比数列{an}中，前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，求前 3n 项和．[分析] 可以利用前 n 项和公式或前 n 项和的性质求解．[解] 解法一：设{an}的前 n 项和为 Sn. S2n≠2Sn，∴q≠1，由前 n 项和公式得，②÷①，得 1＋qn＝，∴qn＝. ③将③代入①，得＝64.∴S3n＝＝64×＝63.解法二： {an}为等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2...
