第十五课 等比数列的前 n 项和一、课标要求1.探索并掌握等等比数列的前 n 项和的公式。 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系.二、先学后讲1．推导等比数列的前 n 项和公式 方法一：设等比数列123,,,,na a aa它的前 n 项和是123nnSaaaa.依等比数列通项公式有211111nnSaa qa qa q ①① 式两边同乘以 q，得231111nnqSa qa qa qa q.② ①－②，得1(1)(1)nnq Saq，由此得 q≠1 时，1(1)1nnaqSq. 11nnaa q ，∴上式可化为11nnaa qSq. 当 q=1 时，1nSna.方法二：由等比数列定义知12aa =23aa =34aa =…=1nnaqa.当 q≠1 时，2341231nnaaaaqaaaa ,即1nnnSaqSa.故11(1)11nnnaa qaqSqq. 当 q=1 时，1nSna.方法三：211111nnSaa qa qa q 2211111()naq aa qa qa q 111 ()nnnaqSa q Sa∴当 q≠1 时，11(1)11nnnaa qaqSqq , 当 q=1 时，1nSna.2．注意问题 （1）上述证法中，方法一为错位相减法，方法二为合比定理法，方法三为拆项法.各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会. （2）公比为 1 与不为 1 时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论. （3）当已知首项 a1，公比 q，项数 n 时，用公式1(1)1nnaqSq，当已知 a1，an，n 时，用公式111nnaa qSq. （4）在解决等比数列问题时，如已知 a1，an，Sn，n，q 中任意三个，可由通项公式或前 n 项和公式求解其余两个.三、合作探究1. 求已知等比数列的和例 1 求下列数列的前 n 项和：(1) 2,4,8,,2n;(2)232,2,2,,2naaaa;(3)3,33,333,3333, (4)211,2 ,3,,(0)naanaa.【思路分析】关于数列的求和问题，首先应考虑是否能直接用等差、等比数列求和公式求和.若不能，则应考虑能否通过变换变为等差、等比数列的求和问题.(1)直接用公式求解;(2)可以先分组，后求和，分成(a+a2+…+an)与(－2－2－2－…－2)两组求和.(2)通过变换通项将每一项变为 1 (101)3n ,再用等比数列求和.(3)可采用等比数列前 n 项公式的推导方法—错位相减法求和.解: (1) 2,4,8,,2n是首项为12a ,公比2q 的等比数列,∴2(12 )248212nnn...
