习题课 数列求和[学习目标] 掌握数列求和的几种基本方法．知识点 数列求和的方法1．基本求和公式(1)等差数列的前 n 项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝＝.2．倒序相加法如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的．思考 已知 f(x)＝，利用等差数列求和的方法求 f()＋f()＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．答案 解析 设原式＝S，则 S＝f(5)＋f(4)＋f(3)＋f(2)＋f(1)＋f()＋f()＋f()＋f()， f(n)＋f()＝＋＝1，∴S＝4＋f(1)＝4＋＝.3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．裂项相消求和经常用到下列拆项公式：(1)＝－；(2)＝；(3)＝－．5．分组求和法分组求和一般适用于两种形式：(1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和；(2)通项公式为 an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．6．并项求和法一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．题型一 分组求和法例 1 在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝2an－2＋n，求 b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．解 (1)设等差数列{an}的公差为 d.由已知得解得所以 an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得 bn＝2n＋n，所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.反思与感悟 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练 1 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．解 (1)设数列{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，由得∴{bn}的通项公式 bn＝b1qn－1...
