第二章 圆锥曲线与方程1 圆锥曲线定义的妙用1．求动点轨迹例 1 一动圆与两圆：x2＋y2＝1 和 x2＋y2－6x＋5＝0 都外切，则动圆圆心的轨迹为________________．解析 x2＋y2＝1 是圆心为原点，半径为 1 的圆，x2＋y2－6x＋5＝0 化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为 A(3,0)，半径为 2 的圆．设所求动圆圆心为 P，动圆半径为 r，如图，则⇒PA－PO＝1
b>0)的离心率等于，其焦点分别为 A，B，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，的值等于________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得＝，因为点 C 在椭圆上，所以由椭圆定义知 CA＋CB＝2a，而 AB＝2c，所以＝＝＝3.答案 33．求离心率例 3 如图，F1、F2是椭圆 C1：＋y2＝1 与双曲线 C2的公共焦点，A、B 分别是 C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是________．解析 由椭圆可知 AF1＋AF2＝4，F1F2＝2.因为四边形 AF1BF2为矩形，所以 AF＋AF＝F1F＝12，所以 2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF＋AF)＝16－12＝4，所以(AF2－AF1)2＝AF＋AF－2AF1·AF2＝12－4＝8，所以 AF2－AF1＝2.因此对于双曲线有 a＝，c＝，所以 C2的离心率 e＝＝.答案 例 4 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是________．解析 由双曲线的定义有 PF1－PF2＝2a.又 PF1＝4PF2，∴PF1＝a，PF2＝a.在△PF1F2中，应有 PF1＋PF2≥F1F2，即 a≥2c，∴e≤，又 e>1，∴离心率 e 的取值范围是(1，]．答案 (1，]4．求最值例 5 线段 AB＝4，PA＋PB＝6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析 由于 PA＋PB＝6>4＝AB，故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点，A、B 为焦点的椭圆，且 a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是 PM 的长度的最小值是 b＝.答案 例 6 已知 F 是双曲线－y2＝1 的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点 M(4,2)，求 PM＋PF 的最小值．解 设双曲线的左焦点为 F′，如图所示，则 F′(－2,0)．由双曲线的定义知，PF′－PF＝2a＝2，所以 PF＝PF′－2，所以 PM＋PF＝PM＋PF′－2，要使 PM＋PF 取得最小值，只需 PM＋PF′取得最小值，...
