高中数学 第二章 数列 专题突破三 数列通项公式的求法学案（含解析）新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案

专题突破三 数列通项公式的求法求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例 1 由数列的前 n 项，写出通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，…；(2)，，，，，…；(3)2，，，，，…；(4)，，，，，….解 (1)这个数列前 6 项构成一个摆动数列，奇数项为 3，偶数项为 5.所以它的一个通项公式为 an＝4＋(－1)n，n∈N＋.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大 1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.(3)数列可化为 1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，所以它的一个通项公式为 an＝n＋，n∈N＋.(4)数列可化为，，，，，…，所以它的一个通项公式为 an＝，n∈N＋.反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．跟踪训练 1 由数列的前几项，写出通项公式：(1)1，－7,13，－19,25，…；(2)，，，，，…；(3)1，－，，－，….解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以 1 为首项，6 为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n+1(6n－5)，n∈N＋.(2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为 an＝，n∈N＋.(3)数列化为，－，，－，…，所以数列的一个通项公式为 an＝(－1)n+1，n∈N＋.二、利用递推公式求通项公式命题角度 1 累加、累乘例 2 (1)数列{an}满足 a1＝1，对任意的 n∈N＋都有 an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；(2)已知数列{an}满足 a1＝，an＋1＝an，求 an.解 (1) an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．等式两边同时相加得 an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)．即 an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.又 a1＝1 也适合上式，∴an＝，n∈N＋.(2)由条件知＝，分别令 n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式，累乘，即···…·＝×××…×(n≥2)．∴＝，又 a1＝，∴an＝.又 a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N＋.反思感悟 形如 an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步...