高中数学 第二章 平面向量 阶段复习课 第3课 平面向量学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

第三课 平面向量[核心速填]1．向量的运算(1)加法：①OA＋AB＝OB，②若四边形 OABC 为平行四边形，则OA＋OC＝OB.(2)减法：OA－OB＝BA.(3)数乘：|λa|＝|λ||a|.(4)数量积：a·b＝|a||b|cos θ(a 与 b 的夹角为 θ)．2．两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2是一组基底．3．两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .4．平面向量的三个性质(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝＝.[体系构建][题型探究]平面向量的线性运算 (1)平面上有 A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点 C 在直线 AB 上，且AC＝BC，连接 DC 延长至 E，使|CE|＝|ED|，则点 E 的坐标为________．图 21(2)如图 21，在正五边形 ABCDE 中，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，求作向量 a－c＋b－d－e. 【导学号：84352275】(1) [(1) AC＝BC，∴OC－OA＝(OC－OB)．∴OC＝2OA－OB＝(3，－6)，∴点 C 坐标为(3，－6)．由|CE|＝|ED|，且 E 在 DC 的延长线上，∴CE＝－ED.设 E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，得解得即 E.(2)a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(AB＋BC)－(CD＋DE＋EA)＝AC－CA＝AC＋AC.如图，连接 AC，并延长至点 F，使 CF＝AC，则CF＝AC，所 以AF＝AC＋AC，即为所求作的向量 a－c＋b－d－e.][规律方法] 1.向量加法是由三角形法则定义的，要点是“ 首尾相连”，即AB＋BC＝AC.向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为 邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满 足交换律、结合律．2．向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．3．数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．[跟踪训练]1．如图 22 所示，在△ABC 中，AN...