第二章 平面向量本章整合知识网络专题探究专题一 向量的基本运算及几何意义向量的运算有：加法、减法、数乘及两个向量的数量积，进行向量的运算常见的方法有两种：定义法和坐标法．(1)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解．(2)如果条件是坐标的向量，则直接进行运算．如果向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解．【例 1】 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，E 为 BC 的中点，则·＝( )A．－3 B．0C．－1 D．1解析：方法一：＝＋＝＋，所以·＝·＝·＋·＝||·||cos 120°＋||·||cos 60°＝－×2×2＋×2×2×＝－1.方法二： ABCD 为菱形，∴AC⊥BD.以 AC，BD 所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝60°，得 A(－，0)，B(0，－1)，C(，0)，D(0,1)，中点 E，则＝，＝(0,2)，∴·＝×0－×2＝－1.答案：C专题二 向量的模向量的模，即向量的大小，也就是用来表示向量的有向线段的长度．向量的模不仅是研究向量的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇”点．因此，我们必须熟练掌握求向量的模的基本方法．一般地，求向量的模主要是利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决．或利用公式|a|＝将它转化为实数问题，使问题得以解决．【例 2】 若 a，b，c 均为单位向量，且 a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为( )A. －1 B．1C. ＋1 D. 解析：|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c，因为 a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以|a＋b|＝，所以(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉．所以|a＋b－c|2＝3－2cos〈a＋b，c〉．所以当 cos〈a＋b，c〉＝1 时，|a＋b－c|2 最小为|a＋b－c|2＝3－2＝(－1)2，即|a＋b－c|的最小值为－1.选 A.答案：A【例 3】 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．解法一： |3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.故|3a＋b|＝＝＝＝2.解法二：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． |a|＝|b|＝1，∴x ＋y ＝x ＋y ＝1. 3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∴|3a－2b|＝＝3.∴x1x2＋y1y2＝.∴|3a＋b|＝＝＝＝2.专题三 向量的夹角...
