第二章 平面向量本章整合知识网络专题探究专题一 平面向量的线性运算(1)向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．(2)向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．(3)理解向量的有关概念(如，相等向量与相反向量、平面向量基本定理等)，用基底表示向量，三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础．(4)题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．【例 1】 如图，四边形 ABCD 是梯形，AB∥DC，且 AB＝2CD，M，N 分别是 DC 和 AB 的中点，已知＝a，＝b，试用 a，b 表示，．分析：本题要求用 a，b 表示和，而 a，b 不共线，由平面向量基本定理，知此平面内任何向量都可用 a，b 唯一表示，因此需结合图形寻找，与 a，b 的关系．解：如图，连接 DN，CN．因为 N 为 AB 的中点，且=a，所以==．又 AB=2CD，且 AB∥CD，所以§=§=§a．所以§=§=§a．所以在△ADN 中，§=§-§=§a-b，在△DMN 中，＝－＝－b－＝－b，在△MNC 中，＝－＝－＋b＝b，在△NBC 中，＝－＝b－．所以＝－＋b，＝－b．专题二 平面向量的坐标运算(1)向量的坐标运算把向量线性运算转化为代数运算，达到数与形的统一．(2)平面向量的坐标运算主要解决求向量的坐标，判断向量共线、平行等问题．【例 2】 已知 A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，且·＝5，2＝10．(1)求 D 点的坐标；(2)用，表示．分析：利用待定系数法建立有关未知量的方程求解．解：(1)设 D 点的坐标为(x，y)，则＝(1,2)，＝(x＋1，y)，所以·＝x＋1＋2y＝5，①2＝(x＋1)2＋y2＝10．②联立①②，解得或所以 D 点的坐标为(－2,3)或(2,1)．(2)当 D 点的坐标为(－2,3)时，＝(1,2)，＝(－1,3)，＝(－2,1)．设＝m＋n，则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)．所以所以所以＝－＋．当 D 点的坐标为(2,1)时，＝(3,1)．设＝p＋q，则(－2,1)＝p(1,2)＋q(3,1)，所以所以所以＝－．所以当 D 点的坐标为(－2,3)时，＝－＋；当 D 点的坐标为(2,1)时，＝－．专题三 平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两个向量垂直、平行，求两个向量的夹角，计算向量的长度等．【例 3】 设 0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值为 0...
