第二章 平面向量学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)减法a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0λa＝( λx 1， λy 1)向量的数量积运算a·b＝|a||b|cos θ(θ 为 a 与 b的夹角)规定 0·a＝0，数量积的几何意义是 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积a·b＝x1x2＋ y 1y22.两个定理(1)平面向量基本定理① 定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.② 基底：把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.3.向量的平行与垂直a，b 为非零向量，设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b有唯一实数 λ 使得 b＝x1y2－x2y1＝0λa(a≠0)a⊥ba·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 类型一 向量的线性运算例 1 如图所示，在△ABC 中，AN＝NC，P 是 BN 上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数 m 的值为________.答案 解析 设BP＝λBN，则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋AC＝(m－1)AB＋AC.BN＝BA＋AN＝－AB＋AC. BP与BN共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练 1 在△ABC 中，E 为线段 AC 的中点，试问在线段 AC 上是否存在一点 D，使得BD＝BC＋BE，若存在，说明 D 点位置；若不存在，说明理由. 解 假设存在 D 点，使得BD＝BC＋BE.BD＝BC＋BE⇒BD＝BC＋(BC＋CE)＝BC＋CE⇒BD－BC＝CE⇒CD＝CE⇒CD＝×⇒CD＝CA.所以当点 D 为 AC 的三等分点时，BD＝BC＋BE.类型二 向量的数量积运算例 2 已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).(1)用 k 表示数量积 a·b；(2)求 a·b 的...
