2.3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程在平面直角坐标系中 A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．问题 1：若动点 M 满足|MA－MB|＝4，设 M 的坐标为(x，y)，则 x，y 满足什么关系？提示：－＝1.问题 2：若动点 M 满足|MC－MD|＝4，设 M 的坐标为(x，y)，则 x，y 满足什么关系？提示：－＝1.双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标(± c, 0) (0 ， ± c ) a，b，c 的关系c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含 x，y 项的平方差，右边是 1.2．在双曲线中，a>0 且 b>0，但 a 与 b 的大小关系不确定．3．在双曲线中 a、b、c 满足 c2＝a2＋b2，与椭圆不同．用待定系数法求双曲线方程[例 1] 已知双曲线过点 P(－，－)，Q 两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于 a、b、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， P(－，－)，Q 两点在双曲线上．∴解得即 a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为 x2－＝1.当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， P(－，－)，Q 两点在双曲线上，∴解得(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为 x2－＝1.法二：设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，1因为双曲线过两点 P(－，－)，Q，得解得所以所求双曲线的标准方程为 x2－＝1.[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆＋＝1 有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．解：(1)椭圆＋＝1 的焦点坐标为 F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.(2) 焦点在 x 轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中 0<λ<6)． 双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝4，c＝5，焦点在 y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点 A(－5,6)．解：(1)由题设知，a＝4，c＝5，由 c2＝a2＋b2，得 b2＝c2－a2＝52－42＝9...
