高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 合情推理与演绎推理直接证明教学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教学案

2.2.1 直 接 证 明[对应学生用书 P26]1．若实数 a，b 满足 a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4.证明：因为 2a＋2b≥2＝2，又 a＋b＝3，所以 2a＋2b≥2＝4.故 2a＋2b≥4 成立．问题 1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题 2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：＋2<2＋.证明：要证明＋2<2＋，由于＋2>0,2＋>0，只需证明(＋2)2<(2＋)2，展开得 11＋4<11＋4，只需证明 6<7，显然 6<7 成立．所以＋2<2＋成立．问题 1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题 2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法⇒…⇒…⇒分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或⇐…⇐…⇐已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例 1] 已知 a，b，c∈R，且 a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析] a2＋≥，b2＋≥，c2＋≥，∴＋＋≥a＋b＋c＝(a＋b＋c)＝.∴a2＋b2＋c2≥.[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设 a，b，c 为不全相等的正数，且 ab...