高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 直接证明学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学案

2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知 a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为 b2＋c2≥2bc，a>0，所以 a(b2＋c2)≥2abc.又因为 c2＋a2≥2ac，b>0，所以 b(c2＋a2)≥2abc.因此 a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答案 利用已知条件 a>0，b>0 和基本不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⇒…⇒本题结论．知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？已知 a，b>0，求证：≥.证明：方法一 a，b>0，(－)2≥0，∴()2＋()2－2≥0，∴a＋b≥2，∴≥.方法二 要证≥，只需证 a＋b≥2，只需证 a＋b－2≥0，又 a，b>0，只需证(－)2≥0， (－)2≥0 显然成立，∴原不等式成立．答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件．梳理 综合法和分析法定义比较直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明⇒…⇒…⇒的结论为止．这种证明方法称为综合法分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法⇐…⇐…⇐1．综合法是执果索因的逆推证法．( × )2．综合法证明的依据是三段论．( √ )3．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( √ )4．分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )类型一 综合法的应用例 1 在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列．求证：acos2＋ccos2≥b.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac.因为左边＝＋＝(a＋c)＋(acosC＋ccosA)＝(a＋c)＋＝(a＋c)＋b≥＋＝b＋＝b＝右边，所以 acos2＋ccos2≥b.反思与感悟 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组...