第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题[对应学生用书 P48]在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题 1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数 n 有关的问题．数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当 n 取第一个值 n0(例如 n 0＝ 1,2 等 ) 时结论正确；(2)假设当 n ＝ k (k∈N*，且 k≥n0)时结论正确，证明当 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确．那么，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都成立．数学归纳法的两个步骤之间的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即 n 取 n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．用数学归纳法证明恒等式[例 1] 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.[思路点拨] 等式的左边有 2n 项，右边共有 n 项，f(k)与 f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同．因此，从 n＝k 到 n＝k＋1 时要注意项的合并．[精解详析] (1)当 n＝1 时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当 n＝k 时命题成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么当 n＝k＋1 时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋.右边＝＋＋…＋＋＋，左边＝右边，上式表明当 n＝k＋1 时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立．[一点通] (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关．由 n＝k到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(2)证明 n＝k＋1 时成立，必须用到假设 n＝k 成立的结论．1．用数列归纳法证明：当 n∈N*时，－1＋3－5＋ … ＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n·n.证明：(1)当 n＝1 时，左边＝－1，右边＝－1，所以左边...
