四 渐开线与摆线课堂导学三点剖析一、圆的摆线的参数方程【例 1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式)cos1(),sin(ryrx(φ 为参数),可知只需求出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.解:令 r(1-cosφ)=0,可得 cosφ=1，所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得 x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以 r=k21.又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0.所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N*.所以，所求摆线的参数方程是)cos1(21),sin(21kykx(φ 为参数)(其中 k∈N*).温馨提示 本题易错点是误把点(1，0)中的 1 或 0 当成 φ 的值，代入参数方程中求出 x 和 y 的值，再计算 r 的值；或者在求出 cosφ=1 后，直接得出 φ=0，从而导致答案不全面.各个击破类题演练 1求摆线)cos1(2),sin(2tyttx(0≤t≤2π)与直线 y=2 的交点的直角坐标.解:y=2 时,2=2(1-cost),∴cost=0. 0≤t≤2π,∴t= 2 或 23 .∴x1=2( 2 -sin 2 )=π-2,x2=2( 23 -sin 23 )=3π+2.∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).温馨提示 求交点坐标时,要避免出现增根和减根的情况,因此,要切实注意参数的取值范围.这是初学者最容易忽视的.二、圆的渐开线的参数方程【例 2】 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A,B 对应的参数分1别是 3 和 2 ，求 A,B 两点的距离.思路分析:首先根据圆的直径可知半径为 1，写出渐开线的标准参数方程，再根据 A,B 对应的参数代入参数方程可得对应的 A,B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得 A,B之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线参数方程是cossin,sincosyx(φ 为参数)，分别把 φ= 3 和 φ= 2 代入，可得 A,B 两点的坐标分别为 A(633,633)，B(2 ,1).那么，根据两点之间的距离公式可得 A,B 两点的距离为|AB|=22)1633()2633(633366)3613(612,即点 A,B 之间的距离为633366)3613(612温馨提示 本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程...
