高中数学 第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案VIP专享

8．5 空间直线、平面的平行8．5.1 直线与直线平行[目标] 1.能用基本事实 4 解决一些数学问题；2.理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题．[重点] 基本事实 4 的应用．[难点] 等角定理． 要点整合夯基础 知识点一 基本事实 4[填一填][答一答]1．如图，在长方体 ABCDA′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC 与 A′B′平行吗？提示：平行．知识点二 等角定理[填一填][答一答]2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( C )A．30°B．150°C．30°或 150°D．大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以 ∠B′A′C′＝30°或 150°.3．若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？提示：相等． 典例讲练破题型 类型一 基本事实 4 的应用[例 1] 如图，E、F 分别是长方体 A1B1C1D1ABCD 的棱 A1A、C1C 的中点，求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．[分析] 平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．[证明] 取 DD1的中点点 Q，连接 EQ、QC1. E 是 AA1的中点，∴EQ 綉 A1D1.又在矩形 A1B1C1D1中 A1D1綉 B1C1.∴EQ 綉 B1C1(基本事实 4)，∴四边形 EQC1B1为平行四边形，∴B1E 綉 C1Q，又 Q、F 是矩形 DD1C1C 的两边中点，∴QD 綉 C1F，∴四边形 DQC1F 为平行四边形，∴C1Q 綉 DF.又 B1E 綉 C1Q，∴B1E 綉 DF，∴四边形 B1EDF 为平行四边形．基本事实 4 表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.[变式训练 1] 如图，已知正方体 ABCDA′B′C′D′中，M、N 分别为 CD、AD 的中点，求证：四边形 MNA′C′是梯形．证明：连接 AC. M、N 为 CD、AD 的中点，∴MN 綉 AC.由正方体性质可知 AC 綉 A′C′.∴MN 綉 A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形．类型二 等角定理的应用[例 2] 如右图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别是 AB，BB1，BC 的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.[证明] 连接 B1C.因为 G，F 分别为 BC，BB1的中点，所以 GF 綉 B1C.又 ABCDA1B1C1D1为正方体，所以 CD 綉 AB，A1B1綉 AB，由基本事实 4 知 CD 綉 A1B1，所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，所以 A1D 綉 B1C.又 B1C∥FG，由基本事实 4 知 A1D∥FG.同...