4.2 用数学归纳法证明不等式课堂探究1．观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例 1 中若只观察前 3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2；a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，从而归纳出 n2＞2n(n∈N＋，n≥3)是错误的，前 n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k＋1”的方法与技巧剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构． 题型一 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【例 1】已知 f(x)＝.对于 n∈N＋，试比较 f()与的大小并说明理由．分析：先通过 n 取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明．解：据题意 f(x)＝＝＝1－，∴f()＝1－，又＝1－，∴要比较 f()与的大小，只需比较 2n与 n2的大小即可，当 n＝1 时，21＝2＞12＝1，当 n＝2 时，22＝4＝22，当 n＝3 时，23＝8＜32＝9，当 n＝4 时，24＝16＝42，当 n＝5 时，25＝32＞52＝25，当 n＝6 时，26＝64＞62＝36.故猜测当 n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，下面用数学归纳法加以证明．(1)当 n＝5 时，2n＞n2显然成立．(2)假设 n＝k(k≥5，且 k∈N＋)时，不等式 2n＞n2成立，即 2k＞k2(k≥5)，则当 n＝k＋1 时，2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2(因为(k－1)2＞2)．由(1)(2)可知，对一切 n≥5，n∈N＋...
