2.1 比较法课堂探究1．作差比较法证明不等式的一般步骤剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差．(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等．(3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断差的正负号．(4)结论：根据差的正负号下结论．知识拓展 若差式的符号不能确定，一般是与某些字母的取值有关时，则需对这些字母进行讨论．2．作商比较法中的符号问题的确定剖析：在作商比较法中，＞1 b＞a 是不正确的，这与 a，b 的符号有关，比如若 a，b＞0，由＞1，可得 b＞a，但若 a，b＜0，则由＞1 得出的反而是 b＜a，也就是说，在作商比较法中，要对 a，b 的符号作出判断．否则，结论可能是错误的．名师点拔 使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明． 题型一 利用作差比较法证明不等式【例 1】已知 a≥1，求证：－＜－.分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明．证明： (－)－(－)＝－＝＜0，∴－＜－.反思 根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于 0 时，两边平方是等价变形，都小于 0 时要改变不等号.题型二 利用作商比较法证明不等式【例 2】已知 a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.分析：因为 a，b 均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较．证明： ＝＋＝＋＝＝，又 a2＋b2≥2ab，∴≥＝1，当且仅当 a＝b＞0 时取等号．∴＋≥＋.反思 作商比较法的前提条件是两个数 a，b 都大于 0，对进行整理，直到能清晰看出与1 的大小关系为止．在运算过程中注意运用计算技巧.题型三 比较法在综合题目中的应用【例 3】已知数列{an}的首项 a1＝5，前 n 项和为 Sn，且 Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N＋)．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)令 f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数 f(x)在点 x＝1 处的导数 f′(1)，并比较 2f′(1)与 23n2－13n 的大小．1分析：在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化．(1)证明：由已知 Sn＋1＝2Sn＋n＋5，①∴n≥2 时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，②①② 两式相减，得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即 an＋1＝2an＋1，从而 an＋1＋1＝2(an＋1)．当 n＝1 时，S2＝2S1＋1＋...
