高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 2.2.2 分析法课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

2.2.2 分析法课堂导学三点剖析一,利用分析法证明不等式【例 1】 (1)设 a>b>0,求证:333baba.(2)已知 0<α<π,证明 2sin2α≤cot 2 ,并指出等号成立的条件.证明：(1)要证333baba, a>b>0,有 3ba >0,∴需证( 3ba )3>(33ba )3,展开得 a-b>a-323ba+bab 323,即证明)(3333baab>0,也就是证33ba >0,在题设条件下这一不等式显然成立,∴原不等式成立.(2)要证 2sin2α≤cot 2 ,由 0<α<π 知 sinα>0,只需证 2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明 4sin2αcosα-(1+cosα)≤0,也就是证(1+cosα)［4(1-cosα)cosα-1］≤0,而 1+cosα>0,于是只要证-4cos2α+4cosα-1≤0,即-(2cosα-1)2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的.∴2sin2α≤cot 2 ,等号在 2cosα=1,α= 3 时取得.各个击破类题演练 1若 a,b,c 三数均大于 1,且 ab=10,求证:logac+logbc≥4lgc.证明:由于 a>1,b>1,要证 logac+logbc≥4lgc,需证bcaclglglglg≥4lgc,而 lgc>0,因此只要证balg1lg1 ≥4,1即证babalglglglg≥4. ab=10,有 lga+lgb=1,于是只需证 lga·lgb≤ 41 ,而 lga·lgb≤(2lglgba )2= 41 .∴不等式 logac+logbc≥4lgc 成立.变式提升 1已知 a>0,b1 -a1 >1,求证:ba111.证明:要证ba111,只要证ba11,即证(1+a)(1-b)>1,就是证 a-b-ab>0.①而已知条件 a>0, b1 - a1 >1 b>0,且 a-b>ab,可知①式成立,∴ba111成立.二、分析法和综合法的综合运用【例 2】 a>0,b>0,a≠b,且 a3-b3=a2-b2,求证:11 是件容易的事,如何证 a+b< 34 呢?用综合法难以下手,我们用分析法来证.证明: a3-b3=a2-b2,∴a2+ab+b2=a+b( a≠b).①∴(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=(a+b).∴a+b>1.②要证 a+b< 34 ,需证 3(a+b)<4,于是证 3(a+b)2<4(a+b).又由①式可知,必须证 3(a2+b2+2ab)<4(a2+ab+b2),然后证 a2-2ab+b2>0,即证(a-b)2>0,而这一结论在 a≠b 时是恒成立的.∴a+b< 34 .③由②③知 10,b>0,求证:(a+ a1 )2+(b+ b1 )2≥ 225 .证明:要证(a+ a1 )2+(b+ b1 )2≥ 225 ,只要证(a2+b2)+(21a+21b)+4≥ 225 ,只要证(a2+b2)+(21a+21b)≥ 217 . ab≤(2ba ...