高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.1 导数与函数的单调性学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

4.1．1 导数与函数的单调性课标解读 1. 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系. 2. 正确理解利用导数判断函数单调性的思想方法，并能灵活运用．(重点、难点) 3. 会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)导数与函数的单调性【问题导思】 函数 f(x)＝x2－2x－2 的图像如图所示：(1)当 x0∈(－∞，1)时，函数在(x0，f(x0))处的切线斜率 f′(x0)大于零还是小于零？(2)函数 f(x)＝x2－2x－2 在(－∞，1)上的单调性如何？【提示】 (1)小于零；(2)是减少的．导函数的符号与函数的单调性之间的关系如果在某个区间内，函数 y＝f(x)的导数 f ′( x )>0 ，则在这个区间上，函数 y＝f(x)是增加的．如果在某个区间内，函数 y＝f(x)的导数 f ′( x )<0 ，则在这个区间上，函数 y＝f(x)是减少的．利用导数判断单调性 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)；(2)f(x)＝－x3＋3x2.【思路探究】 先求出函数 f(x)的导数，再令导数大于或小于 0，解不等式，最后结合导函数的符号与函数的单调性之间的关系来求函数的单调区间．【自主解答】 (1)f′(x)＝cos x－1，1 x∈(0，π)，∴cos x∈(－1，1)，∴f′(x)<0 恒成立，即函数 f(x)在(0，π)上是减少的．故函数 f(x)的递减区间是(0，π)．(2)f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当 f′(x)>0 时，02，因此，函数 f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)． 1 .若函数的单调区间不止一个，则在写这些区间时，应该用逗号分开或者用“及”、“和”连接，切忌用并集符号或者“或”连接，如本题第(2)小题的递减区间不能写成(－∞，0)∪(2，＋∞)． 2 .利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数 f(x)的定义域．(2)求导数 f′(x)．(3)确定 f′(x)>0(或 f′(x)<0)时相应的 x 的范围：当 f′(x)>0 时，f(x)在相应的区间上是增加的；当 f′(x)<0 时，f′(x)在相应的区间上是减少的． 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋8；(2)f(x)＝3x2－2ln x.【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R.f′(x)＝4x2－4x＝4x(x－1)，令 f′(x)>0，得 x<0 或 x>1，∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)；令 f′(x)<0，得 00，即 2...