2.5.1 平面向量的数量积 一、课前自主导学【学习目标】 1．理解平面向量数量积的概念； 2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围； 3．掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4．掌握向量数量积的性质。【重点、难点】向量数量积及其重要性质；【温故而知新】预习填空：1．向量的夹角：已知两个向量和（如图 2），作，，则（）叫做向量与的夹角。当时，与同向； 当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关； ② 实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数 量；实数与向量的积是一个向量； ③ 规定，零向量与任一向量的数量积是．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．图（2）叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。（3）数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则①；② 当与同 向 时 ，； 当与反 向 时 ，； 特 别 地 ：或；③；④；⑤若是与方向相同的单位向量，则平面向量数量积的运算律1．交换律：2．数乘结合律： = = 3．分配律：说明：（1）一般地， （2）（3）有如下常用性质：，＝＋＋＋【我的困惑】二、课堂互动探究【例 1】已知：解：（1）（2）【例 2】已知正的边长为，设，，，求．解：如图，与、与、与夹角为，∴原式 ．【例 3】（1）已知||=3,||=4,且与不共线,当为何值时,向量+与-互相垂直?（2）已知,是两个非零向量,且||-||=|+|,求向量与-的夹角.解:（1）+与-互相垂直的条件是(+)·(-)=0,即-=0. =9,=,∴=0.∴=±.也就是说,当=±时,+与-互相垂直.（2） |b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2.∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.∴a·b=-|b|2 b·(a-b)=b·a-b2=|b|2-|b|2=|b|2(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×()|b|2+|b|2=3|b|2 ∴|a-b|=3|b|. cos〈b,a-b〉=,得 cos〈b,a-b〉=-.又 〈b,a-b〉∈［0,π］, ∴〈b,a-b〉=.【例 4】（1）设向量=m+n(m,n∈R),已知||=2,|c |=4,⊥,·=-4,且 b与的夹角为 120°,求 m,n 的值.（2）已知||=,||=3,与的夹角为 45°,且向量 λ+与+λ的夹角为锐角,求实数 λ 的...
