2.7 向量应用举例 一、课前自主导学【学习目标】1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；2. 会用向量知识解决几何问题；3. .掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现学科与学科之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题【重点、难点】1.如何将几何等实际问题化归为向量问题2.将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.【温故而知新】预习填空1.向量在平面几何中的应用(1) 证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常用向量平行 (共线)的条件： .（2）证明线段的垂直问题，判断两直线是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（3）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式2.向量在物理中的应用问题 1：向量与力有什么相同点和不同点？结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一 点 的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量 平移 到同一作用点上.问题 2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减运算，而运动的叠加也用到向量的合成.问题 3：向量的数量积与功、动量有什么联系？结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.⑴ 力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负.⑵ 在解决问题时要注意数形结【我的困惑】二、课堂互动探究【例1】如图 1,AD、BE、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD、BE、CF 相交于一点证明:设 BE、CF 相交于 H,并设=b,=c,=h,则=h-b,=h-c,=c-b.因为⊥,⊥,所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,即(h-b)·c=(h-c)·b. 图 1 化简得 h·(c-b)=0.所以⊥.所以 AH 与 AD 共线,即 AD、BE、CF 相交于一点 H.【例 2】如图 2,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且 BB′⊥CC′,求顶角 A 的余弦值.解:建立如图 2 所示的平面直角坐标系,取 A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为 BB′、CC′都是中线,1所以=(+)=［(2c,0)+(c,a)］=(),同理=().因为 BB′⊥CC′,所以 图 2=0,.所以= 【例 3】如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D 为 BC 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：AD·CE＝(AC＋CB)·(CA＋AB) ＝－|AC|2＋CB·CA＋AB·AC＋AB·CB＝...
