6．2.3 向量的数乘运算考点学习目标核心素养向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理 问题导学预习教材 P13－P16 的内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？1．向量的数乘的定义一般地，规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λ a ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝| λ || a | ．(2)当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0．■名师点拨 λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有意义．2．向量数乘的运算律设 λ，μ 为实数，那么：(1)λ(μa)＝( λμ ) a ．(2)(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ．(3)λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b ．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a ± λμ 2b．(2)向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b ＝ λ a ．■名师点拨 若将定理中的条件 a≠0 去掉，即当 a＝0 时，显然 a 与 b 共线．(1)若 b≠0，则不存在实数 λ，使 b＝λa.(2)若 b＝0，则对任意实数 λ，都有 b＝λa. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数 λ 与向量 a 的积还是向量．( )(2)3a 与 a 的方向相同，－3a 与 a 的方向相反．( )(3)若 ma＝mb，则 a＝b.( )(4)向量共线定理中，条件 a≠0 可以去掉．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 4(a－b)－3(a＋b)－b 等于( )A．a－2b B．aC．a－6b D．a－8b答案：D 若|a|＝1，|b|＝2，且 a 与 b 方向相同，则下列关系式正确的是( )A．b＝2a B．b＝－2aC．a＝2b D．a＝－2b答案：A 在四边形 ABCD 中，若AB＝－CD，则此四边形的形状是________．答案：梯形向量的线性运算 (1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；③.(2)设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．【解】 (1)① 原式＝4a...
