6.3 平面向量基本定理及坐标表示6．3.1 平面向量基本定理[目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用． 要点整合夯基础 知识点 平面向量基本定理[填一填](1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2.(2)若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．[答一答]1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量 e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图，设 OA、OB、OC 为三条共端点的射线，P 为 OC 上一点，能否在 OA、OB 上分别找一点 M、N，使OP＝OM＋ON？提示：能. 过点 P 作 OA、OB 的平行线，分别与 OB、OA 相交，交点即为 N、M.3．若向量 a，b 不共线，且 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．提示：设存在实数 λ 使得 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b 不共线，从而 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，故 c，d 能作为基底. 典例讲练破题型 类型一 基底的概念[例 1] 下面说法中，正确的是( )① 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量 a 和一组基底 e1，e2，使 a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．A．②④ B．②③④C．①③ D．①③④[解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．[答案] B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.[变式训练 1] 设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( B )A．e1＋e2和 e1－e2 B．3e1－4e2和 6e1－8e2C．e1＋2e2和 2e1＋e2 D．e1和 e1＋e2解析：在 B 中，因为 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8...
