对数函数创新题两例函数中的创新题，一般会给出新定义、新运算等，这就要求我们读懂题目，并把新概念、新定义、新运算与所学知识相结合，在较高层次上分析问题、解决问题．例 1 定义：函数( )yf x，x∈D，若存在常数 C，对于任意 x1∈D，存在惟一的 x2∈D，使得12( )()2f xf xC，则称函数( )f x 在 D 上的“均值”为 C，已知( )f x =lgx，x∈［10，100］，则函数( )f x =lgx 在［10，100］上的均值为（ ）．（A） 32（B） 34（C） 110（D）10解析：由题意，当 10≤x1≤100 时，x2也要在［10，100］内，且12lglg2xxC，即 x1x2是常数.令21mxx，又 1100≤11x≤ 110， ∴1010010010mm≥，≤，∴m=1000，∴111000( )lg10003222f xfxC.点 评 ： 本 题 是 新 定 义 题 ， 其 关 键 是 在 ［ 10 ， 100 ］ 上 x2 被 x1 惟 一 确 定 ， 且1212()()lg()f xf xx x为常数，故可令21mxx，然后依据 x2∈［10，100］，求出 m＝1000，再由12( )()2f xf xC求出Ｃ. 例 2 给定(1)log(2)nnan，n∈Ｎ*，定义使 a1·a2·a3·…·ak为整数的 k（k∈Ｎ*）叫做“企盼数”，求区间（1，62）内的所有企盼数的和. 解：∵(1)log(2)nnan，∴a1·a2·a3·…·ak＝log23×log34×log45×…×log（k+1）（k+2）=2lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2kkkk.设2log (2)k 为整数 m，即2log (2)(km mZ).用心 爱心 专心1∴22mk ，即22mk ，又∵k∈（1，62），即 1＜2m－2＜62，∴3＜2m＜64，∴m=2，3，4，5，代入22mk 得到 k=2，6，14，30.∴区间（1，62）内所有“企盼数”之和为 2＋6＋14＋30＝52.用心 爱心 专心2
