高中数学《反证法》学案1 北师大版选修1-2VIP专享

反证法导学（一）知识归纳：1．用反证法证明命题的一般步骤如下：① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；② 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2．反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：① 结论本身以否定形式出现；② 结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③ 结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④ 结论的反面比原结论更具体或更易于证明.（二）学习要点：1．用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：原结论词大于（>）小于（<）都是都不是至少 n 个至多 n 个反设词不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一个是至多 n－1 个至少 n+1 个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意 p，使…恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个 p，使…不成立2．反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若 p 则 q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：① 由假设结论 q 不成立，经过推理论证得到条件 p 不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；② 由假设结论 q 不成立，经过推理论证得到结论 q 成立，即由“非 q 为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；③ 由假设结论 q 不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很②①③难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.例 1.用反证法证明下述命题：（Ⅰ）某班有 49 位学生，证明：至少有 5 位学生的生日在同一个月.[解析] “至少有 5 位”的反设是“至多只有 4 位”.[证明] 假设至多只有 4 位学生的生日在同一个月，即生日同在 1，2，3，…12 月的学生人数都不超过 4 人，∴该班学生总数 m≤4×12=48 人，与该班有 49 个学生的条件矛盾，∴假设不成立，∴至少有 5 位学生的生日在同一个月.（Ⅱ）设 f(x)=x2+ax+b,求证：|f(1)|、| f(2)|、| f(3)|、中至少有一个不小于.[证明] 假设由①、②得两式相加得－4