4.1.2 指数函数的性质与图像学习目标1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.初步运用指数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题,提升学生的数学运算和数学建模的核心素养.课堂探究考古学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时,会持续不断地吸收碳 14,从而其体内的碳 14 含量会保持在一定的水平;但当有机体死亡后,就会停止吸收碳 14,其体内的碳 14 含量就会逐渐减少,而且每经过大约 5 730 年后会变为原来的一半.你能用函数表示有机体内的碳 14 含量与其死亡时间之间的关系吗?一种死亡已经一万年的有机体,其体内的碳 14 含量是其生存时的百分之多少?利用本节课我们要学习的指数函数知识,可以顺利解决情境中的问题. 问题探究一:在以上情境中,假设有机体生存时碳 14 的含量为 1,如果用 y 代表该有机体死亡 x 年后体内碳 14 的含量,则 x=5 730 时,y=12;x=2×5 730 时,y=(12)2=14.由此可知:x=3×5 730 时,y= ; x=5 730n 时,y= ; 从而 y 与 x 的关系可以表示为 . 要点归纳 1:指数函数的定义:一般地,函数 称为指数函数,其中 a 是常数, . 问题探究二:请同学们用描点法画出指数函数 y=2x的图像,小组讨论完成以下问题:观察 y=2x的图像图像特征代数表述图像向 x 轴的 、 方向无限延伸 定义域 图像位于 x 轴的 值域 图像不关于 和 对称 奇偶性 续表自左向右看,图像 单调性 第一象限内的函数图像在 y=1 的上方当 x>0 时,y∈ 第二象限内的函数图像在 y=1 的下方当 x<0 时,y∈ 问题探究三:类比指数函数 y=2x的图像和性质,研究指数函数 y=(12)x的性质和图像,完成以下问题:观察 y=(12)x的图像图像特征代数表述图像向 x 轴的 、 方向无限延伸 定义域 图像位于 x 轴的 值域 图像不关于 和 对称 奇偶性 自左向右看,图像 单调性 第一象限内的函数图像在 y=1 的上方当 x>0 时,y∈ 第二象限内的函数图像在 y=1 的下方当 x<0 时,y∈ 思考并回答下面问题:(1)指数函数 y=2x和 y=(12)x的图像的公共点是什么?(2)能得出指数函数 y=ax的图像一定过哪个定点吗?(3)为什么要限定 a>0 且 a≠1?要点归纳 2:由以上实例,归纳指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的性质:0
