函数专题赏析1 已知函数（） （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）证明： 解：（Ⅰ）函数的定义域为，且① 若，则在上恒成立；② 若，则，，综上所述，有下面结论：若，则在内单调递增；若，则在内单调递减，而在内单调递增 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：函数在内单调递减，而在内单调递增，故当时，有，故有，即 2 已知 f(x)=log2(x+m),m∈R（1）如果 f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求 m 的值；（2）如果 a,b,c 是两两不等的正数，且 a,b,c 依次成等比数列，试判断 f(a)+f(c)与 2f(b)的大小关系，并证明你的结论 解（1） f(1),f(2),f(4)成等差数列，∴f(1)+f(4)=2f(2) 即 log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2 ∴(m+1)(m+4)=(m+2)2即 m2+5m+4=m2+4m+4 ∴m=0(2) f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2, a,b,c 成等比数列， ∴ (a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm1=m(a+c)-2m a>0,c>0 ∴a+c≥2①m>0 时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, ∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2 b ∴f(a)+f(c)>2f(b);②m<0 时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,∴log2[(a+m)(c+m)]
