高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质必备知识·探新知基础知识知识点 1 无理数指数幂无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是__一个确定的实数__.思考 1：2 一定是实数吗？提示：根据无理指数幂的定理 2 是实数．知识点 2 实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras＝__a r ＋ s __.(2)(ar)s＝__a rs __.(3)(ab)r＝__a r b r __.思考 2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：基础自测1．下列说法正确的个数是( B )(1)无理数指数幂有的不是实数．(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 只能是有理数．(3)(3)＝9.A．0 B．1 C．2 D．3[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 是任意实数，不正确；(3)(3)＝3×＝32＝9，正确，故选 B．2．aa＝__a__.3．()＝__nm － __.关键能力·攻重难题型探究题型一 无理数指数幂的运算例 1 计算下列各式：(1)(3)3；(2).[解析] (1)原式＝(3×2)3＝36×22＝2 916.(2)原式＝a＋－π＝a－.[归纳提升] 关于无理数指数幂的运算(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．【对点练习】❶ 计算下列各式：(1)2；(2)(mm－)12.[解析] (1)原式＝(π－)2＝(π)2＝π3.(2)原式＝(m－)12＝(m)12＝m2π.题型二 指数幂运算的综合应用例 2 已知 a＋a－＝3，求下列各式的值．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．[解析] (1)将 a＋a－＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，即 a＋a－1＝7.(2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.(3)由于 a－a－＝(a)3－(a－)3，所以有＝＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过 a＋a－＝3 解出 a 的值代入求值，则非常复杂．(2)解决此类问题的一般步骤是【对点练习】❷ 已知 x－y＝6，xy＝16，求的值．[解析] ＝＝，又 x－y＝6，xy＝16，∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100.∴x＋y＝10 或 x＋y＝－10.当 x＋y＝10 时，原式值为＝3，当 x＋y＝－10 时，原式值为＝－.误区警示因忽略幂底数的范围而导致错误例 3 化简(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝__( － a...