函数的概念与表示自主学习1．映射的定义：设是两个非空集合，如果按照对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作：．2．一一映射：对于从集合到集合的映射，若中的任意一个元素在中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合到集合的一一映射．3．象与原象：对于给定的一个集合到集合的映射，且，元素与元素对应，那么元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．设原象组成的集合为，则有，设与原象对应的象组成的集合为，则．4．函数的概念：如果、都是非空的数集，那么从集合到集合的映射：叫做到的函数．原象的集合叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域．5.函数的三要素：定义域；值域；对应法则．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法则唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同．教材透析 知识点 1 映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一” 或“多对一”的对应．故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合中的每一个元素是否在集合中都有象，然后看集合中每一个元素的象是否唯一．知识点 2 函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合和集合只能是非空数集．函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式．知识点 3 当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数．知识点 4 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于 1；④指数式中，指数为零时，底数不能为零．典例剖析【题型 1】求函数值【 例 1 】 如 果 函 数对 任 意都 有， 试 求的值. 【解析】 对任意，总有f，∴当时应有，即，∴.又 ，∴，故有得，∴.∴ .【点评】这是一个抽象函数的求值问题，关键是有一只条件确定的值，求出函数解析式．【变式与拓展】1. （ 2006 年 安 徽 卷 ） 函 数对 于 任 意 实 数满 足 条 件， 若则 .【解析】由得，所以，则．【题型 2】 求函数解析式 【 例 2 】 设是 定 义 在上 的 函 数 ， 对 一 切均 有， 当时，，求当时，函数的解析式.【解析】设，则，又对任意的，有，...
