高中数学 第五章 三个重要不等式 5.3 贝努力不等式学案 湘教版选修4-5-湘教版高二选修4-5数学学案

5.3 贝努利不等式概念贝努利不等式：对任意整数0n，和任意实数1x，有nxx n1)1(成立；如果0n是偶数，则不等式对任意实数 x 成立。可以看到在1,0n，或0x时等号成立；而对任意正整数2n和任意实数0,1xx，有严格不等式：nxx n1)1(。 贝努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。贝努利不等式的一般式为：)1()1)(1()1(2121nnxxxxxx，当且仅当 n=1 时等号成立。证明设Nnxx2,0,1，则nxx n1)1(。证用数学归纳法证明。当1n时，易知上述不等式成立，设对1n，有：xnx n)1(1)1(1成立，则nxxnxnxxnxxnxxnxxxnn11)1()1(1)1()1(1)1()1()1(2221即Nn，1x，有nxx n1)1(。推广下面把贝努利不等式推广到实数幂形式：若0r或1r，有rxx r1)1(；若10r，有rxx r1)1(。证通过微分进行证明。如果1,0r，则结论是显然的。1如果1,0r，作辅助函数)1()1()(rxxxfr，那么rxrxfr 1)1()('，则00)('xxf；下面分情况讨论：1.10 r，则对于0x，0)('xf；对于01x，0)('xf。严格单增，因此，)(xf在0x处取最大值 0，故得rxx r1)1(。2.0r或1r，则对于0x，0)('xf；对于01x，0)('xf。严格单减，因此，)(xf在0x处取最小值 0，故得rxx r1)1(。2