高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

4．3.2 对数的运算1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．2．掌握换底公式及其推论．3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数运算性质如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM ＋ log aN；(2)loga＝logaM － log aN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．对数换底公式若 c>0，且 c≠1，则 logab＝(a>0，且 a≠1，b>0)．3．由换底公式推导的重要结论(1)loganbn＝logab.(2)loganbm＝logab.(3)logab·logba＝1.(4)logab·logbc·logcd＝logad.1．我们知道 am＋n＝am·an，那么 loga(M·N)＝logaM·logaN 正确吗？举例说明．[答案] 不正确，例如 log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而 log24＝22．你能推出 loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？[答案] 能．令 am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n，由对数定义知，logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，∴loga(MN)＝logaM＋logaN3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)loga(xy)＝logax·logay.( )(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )(4)由换底公式可得 logab＝.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一对数运算性质的应用【典例 1】 求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)log24·log28；(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；(4)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．[解] (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.(4)原式＝2lg5＋lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[针...