高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案VIP专享

4．5.1 函数的零点与方程的解1．理解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系．2．会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间．3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．1．函数的零点对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f(x) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 并 且 有f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解．温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：(1)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2)f(a)·f(b)<0.1．给定二次函数 y＝x2＋2x－3，其图象如下：(1)方程 x2＋2x－3＝0 的解是什么？(2)函数的图象与 x 轴的交点是什么？(3)方程的解与交点的横坐标有什么关系？(4)通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？[答案] (1)－3,1(2)(－3,0)，(1,0)(3)相等(4)在每一个交点附近两侧函数值符号异号2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程 f(x)＝0 有两个不等实数解 x1，x2，则函数 y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．( )(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)<0.( )(4)在[a，b]上函数 f(x)是连续并且单调的函数，若 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)有唯一零点．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√题型一求函数的零点【典例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.[思路导引] 判断方程 f(x)＝0 是否有实数解，并求出即可．[解] (1)解方程 f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得 x＝－1 或 x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程 f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得 x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程 f(x)＝2x－1－3＝0，得 x＝log26，所以函数的零点是 log26.(4)解方程 f(x...