5.5 三角恒等变换5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第 1 课时 两角差的余弦公式[目标] 1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式；2.掌握两角差的余弦公式及其应用．[重点] 两角差的余弦公式的掌握及灵活应用．[难点] 两角差的余弦公式的推导．知识点一 利用两点间距离公式推导公式 [填一填]设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．连接 A1P1，AP.若把扇形 OAP 绕着点 O 旋转 β 角，则点 A，P 分别与点 A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以 AP＝A1P1.根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α － cos β ) 2 ＋ (sin α ＋ sin β ) 2 ，化简得 cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β .当 α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．知识点二 两角差的余弦公式 [填一填]1．公式：cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β .2．简记符号：C(α－β)．3．使用条件：α，β 都是任意角．[答一答]1．两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？提示：公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．2．两角差的余弦公式能不能按照分配律展开呢？提示：两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，不能按照分配律 cos(α－β)＝cosα－cosβ 展开．3．求值：cos75°cos15°－sin255°sin15°＝.解 析 ： cos75°cos15° － sin255°sin15° ＝ cos75°cos15° ＋ sin75°sin15° ＝ cos(75° － 15°) ＝cos60°＝.类型一 两角差余弦公式的正用与逆用 [例 1] 化简求值：(1)cos75°；(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°；(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.[解] (1)原式＝cos(120°－45°)＝cos120°cos45°＋sin120°sin45°＝－×＋×＝.(2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30°＝.(3)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．(2)如果函数名不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称构造公式的结构形式然后逆用公式求值．[变式训练 1] 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos45°＋cos75...
