5 三角恒等变换5．5
1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第 1 课时 两角差的余弦公式[目标] 1
会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式；2
掌握两角差的余弦公式及其应用．[重点] 两角差的余弦公式的掌握及灵活应用．[难点] 两角差的余弦公式的推导．知识点一 利用两点间距离公式推导公式 [填一填]设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．连接 A1P1，AP
若把扇形 OAP 绕着点 O 旋转 β 角，则点 A，P 分别与点 A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以 AP＝A1P1
根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α － cos β ) 2 ＋ (sin α ＋ sin β ) 2 ，化简得 cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β
当 α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．知识点二 两角差的余弦公式 [填一填]1．公式：cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β
2．简记符号：C(α－β)．3．使用条件：α，β 都是任意角．[答一答]1．两角差的余弦公式有无巧记的方法呢
提示：公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．2．两角差的余弦公式能不能按照分配律展开呢
提示：两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，不能按照分配律 cos(α－β)＝cosα－cosβ 展开．3．求值：cos75°cos15°－sin255°sin15°＝
解 析 ： cos75°cos15° － sin
