高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案VIP专享

第 1 课时 两角差的余弦公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用． 两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β 简记符号C(α－β)使用条件α，β 为任意角温馨提示：右边是两项的和，第一项是 cosα 与 cosβ 的积，第二项是 sinα 与 sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．1．平面上，已知点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？[答案] 利用公式|P1P2|＝2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.( )(2)对于任意实数 α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ 都不成立．( )(3)对任意 α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 都成立．( )(4)求 cosα 时，有时把角 α 看成角 α＋β 与角 β 的差．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√题型一 给角求值 【典例 1】 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.[思路导引] (1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．[解] (1)解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0. 利用公式 C(α－β)求值的思路方法(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．[针对训练]1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )A. B. C．－ D．－[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos30°＝，故选 B.[答案] B2．化简 cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝________.[解析] cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos(α＋45°－α)＝.[答案] 题型二给值求值【典例 2】 已知 α，β 均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求 cosβ 的值．[思路导引] 考虑到 β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求 α 角的余弦和 α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．[解] α∈，sinα＝<，∴0<α<，又 α－β∈，cos(α－β)＝<，∴－<α－β<－，∴cosα＝＝＝，sin(α－β)＝－＝－＝－，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α...