第 3 课时 两角和与差的正切公式1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．两角和与差的正切公式公式简记符号使用条件tan(α＋β)＝T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)tan(α－β)＝T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)温馨提示：在应用两角和与差的正切公式时，只要 tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简 tan，因为 tan 的值不存在，所以不能利用公式 T(α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即 tan＝＝. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．( )(2)tan 能根据公式 tan(α＋β)直接展开．( )(3)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ 成立．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√题型一 正切公式的正用 【典例 1】 (1)求值：tan(－75°)；(2)已知 cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求 tanβ.[思路导引] (1)75°＝45°＋30°，利用两角和的正切公式求解；(2)由已知可求得sinα 的值，则可求得 tanα，因为 β＝α－(α－β)，所以 tanβ＝tan[α－(α－β)]，再利用两角差的正切公式求解．[解] (1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋，tan(－75°)＝－tan75°＝－2－.(2) cosα＝>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.[变式] 本例(2)中，其他条件不变，求 tan(2α－β)．[解] tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝2.(1)利用公式 T(α＋β)求角的步骤：① 计算待求角的正切值．② 缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．③ 根据角的范围及三角函数值确定角．(2)注意用已知角来表示未知角．[针对训练]1．已知 tanα＝2，tanβ＝－，其中 0<α<，<β<π.求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．[解] (1)因为 tanα＝2，tanβ＝－，所以 tan(α－β)＝＝＝7.(2)因为 tan(α＋β)＝＝＝1，又因为 0<α<，<β<π，所以<α＋β<，所以 α＋β＝.题型二正切公式的逆用【典例 2】 求值：(1)；(2).[思路导引] (1)逆用两角和的正切公式；(2)将换成 tan60°，再逆用两角差的正切公式．[解] (1)原式＝tan(74°＋76°...
