高中数学 第五章 三角函数 5.5.2.1 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案VIP专享

第 1 课时 简单的三角恒等变换1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．1．半角公式降幂公式半角公式sin2＝sin＝± cos2＝cos＝± tan2＝tan＝± 2.辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)．(其中 tanθ＝)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin15°＝± .( )(2)cos15°＝.( )(3)tan＝.( )(4)倍、半是相对而言的，α 可以看成 2α 的半角，2α 可以看成 4α 的半角．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√题型一 求值问题 【典例 1】 已知 sinα＝－，π<α<，求 sin，cos，tan 的值．[思路导引] 由 α 是的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意的范围．[解] π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2. 解决给值求值问题的思路方法(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[针对训练]1．已知 sin－cos＝－，450°<α<540°，求 tan 的值．[解] 由题意得 2＝，即 1－sinα＝，得 sinα＝. 450°<α<540°，∴cosα＝－，∴tan＝＝＝＝＝2.题型二三角函数式的化简【典例 2】 化简：(180°<α<360°)．[思路导引] 利用二倍角公式将 α 角转化为角，注意被开方式子的正负．[解] 原式＝＝＝.又 180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.[变式] 若本例中式子变为：(－π<α<0)，求化简后的式子．[解] 原式＝＝＝＝.因为－π<α<0，所以－<<0，所以 sin<0，所以原式＝＝cosα. 化简问题中的“3 变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[针对训练]2．已知 π<α<，化简：＋.[解] 原式＝＋， π<α<，∴<<.∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos.题型三三角恒等式的证明【典例 3】 求证：＝.[思路导引] 注意到＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于 tan2θ.[证明] 要证原式，可以证明＝. 左边＝＝＝＝tan2θ，右边＝＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证．...